Rahma hidayati: 2014

Minggu, 02 November 2014

Sifat-Sifat Pertidaksamaan

tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama

Jika a < b maka:

a + c < b + c

a – c < b – c

tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama

Jika a < b, dan c adalah bilangan positif, maka:

a.c < b.c

a/b < b/c

tanda pertidaksamaan akan berubah jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama

Jika a < b, dan c adalah bilangan negatif, maka:

a.c > b.c

a/c > b/c

tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas positif masing-masing dikuadratkan

Jika a < b; a dan b sama-sama positif, maka: a² < b²

Pertidaksamaan Linear

→ Variabelnya berpangkat 1
Penyelesaian:
Suku-suku yang mengandung variabel dikumpulkan di ruas kiri, dan konstanta diletakkan di ruas kanan
Contoh:

Pertidaksamaan Kuadrat

→ Variabelnya berpangkat 2
Penyelesaian:

Ruas kanan dibuat menjadi nol
Faktorkan
Tentukan harga nol, yaitu nilai variabel yang menyebabkan nilai faktor sama dengan nol
Gambar garis bilangannya

Jika tanda pertidaksamaan ≥ atau ≤, maka harga nol ditandai dengan titik hitam •

Jika tanda pertidaksamaan > atau <, maka harga nol ditandai dengan titik putih °

Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval di garis bilangan. Caranya adalah dengan memasukkan salah satu bilangan pada interval tersebut pada persamaan di ruas kiri.

Tanda pada garis bilangan berselang-seling, kecuali jika ada batas rangkap (harga nol yang muncul 2 kali atau sebanyak bilangan genap untuk pertidaksamaan tingkat tinggi), batas rangkap tidak merubah tanda

Tentukan himpunan penyelesaian

→ jika tanda pertidaksamaan > 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (+)

→ jika tanda pertidaksamaan < 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (–)

Contoh:
(2x – 1)² ≥ (5x – 3).(x – 1) – 7
4x² – 4x + 1 ≥ 5x² – 5x – 3x + 3 – 7
4x² – 4x + 1 – 5x² + 5x + 3x – 3 + 7 ≥ 0
–x² + 4x + 5 ≥ 0
–(x² – 4x – 5) ≥ 0
–(x – 5).(x + 1) ≥ 0
Harga nol: x – 5 = 0 atau x + 1 = 0
x = 5 atau x = –1
Garis bilangan:

menggunakan titik hitam karena tanda pertidaksamaan ≥
jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif
karena 0 berada di antara –1 dan 5, maka daerah tersebut bernilai positif, di kiri dan kanannya bernilai negatif
karena tanda pertidaksamaan ≥ 0, maka yang diarsir adalah yang positif

Jadi penyelesaiannya: {x | –1 ≤ x ≤ 5}

Kamis, 30 Oktober 2014

TRIGONOMETRI

Pada segitiga siku-siku ABC dengan sisi miring c, sisi tegak a, dan sisi horizontal b, maka rumus untuksinus, cosinus, dan tangenadalah:

$\sin\alpha = \frac{a}{c}, \cos \alpha = \frac{b}{c}, \tan \alpha = \frac{a}{b},$ $\sec \alpha = \frac{c}{b}, \csc \alpha = \frac{c}{a}, \cot \alpha = \frac{b}{a},$ $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \cot \alpha = \frac{cos \alpha}{\sin \alpha}$

Identitas Trigonometri dari rumus pythagoras:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1, 1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha, 1 + \cot^2 \alpha = \cot^2 \alpha$

Rumus Trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut

$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha$ $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \sin \beta \cos \alpha$ $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$ $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan \beta}$ $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$

Rumus trigonometri untuk sudut ganda

Untuk mendapatkan rumus ini anda cukup mengganti $\beta$ pada rumus penjumlahan dua sudut di atas, yaitu $\sin 2\alpha, \cos 2\alpha, \tan 2\alpha$

Sebagai contoh, untuk mendapatkan rumus untuk $\sin 2\alpha$ kita gunakan rumus $\sin(\alpha + \beta)$ di atas, sehingga kita dapat:

$\sin(2\alpha) = \sin(\alpha + \alpha) = \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha \cos \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$

Berikut ini ringkasnya:

$\sin(2\alpha) = 2\sin \alpha \cos \alpha$ $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$ $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$

Rumus trigonometri lanjut untuk sinus dan cosinus

$\cos \alpha \cos \beta = \frac{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)}{2}$ $\sin \alpha \sin \beta = \frac{\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)}{-2}$